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老齐 · 更新于 2018-04-22 12:00:46

除法

除法啰嗦,不仅是 Python。

整数除以整数

进入 Python 交互模式之后(以后在本教程中,可能不再重复这类的叙述,只要看到>>>,就说明是在交互模式下),练习下面的运算:

>>> 2 / 5
0
>>> 2.0 / 5
0.4
>>> 2 / 5.0
0.4
>>> 2.0 / 5.0
0.4

看到没有?麻烦出来了(这是在 Python2.x 中),按照数学运算,以上四个运算结果都应该是 0.4。但我们看到的后三个符合,第一个居然结果是 0。why?

因为,在 Python(严格说是 Python2.x 中,Python3 会有所变化)里面有一个规定,像 2/5 中的除法这样,是要取整(就是去掉小数,但不是四舍五入)。2 除以 5,商是 0(整数),余数是 2(整数)。那么如果用这种形式:2/5,计算结果就是商那个整数。或者可以理解为:整数除以整数,结果是整数(商)

比如:

>>> 5 / 2
2
>>> 7 / 2
3
>>> 8 / 2
4

注意:得到是商(整数),而不是得到含有小数位的结果再通过“四舍五入”取整。例如:5/2,得到的是商 2,余数 1,最终5 / 2 = 2。并不是对 2.5 进行四舍五入。

浮点数与整数相除

这个标题和上面的标题格式不一样,上面的标题是“整数除以整数”,如果按照风格一贯制的要求,本节标题应该是“浮点数除以整数”,但没有,现在是“浮点数与整数相除”,其含义是:

假设:x 除以 y。其中 x 可能是整数,也可能是浮点数;y 可能是整数,也可能是浮点数。

出结论之前,还是先做实验:

>>> 9.0 / 2
4.5
>>> 9 / 2.0
4.5
>>> 9.0 / 2.0
4.5

>>> 8.0 / 2
4.0
>>> 8 / 2.0
4.0
>>> 8.0 / 2.0
4.0

归纳,得到规律:不管是被除数还是除数,只要有一个数是浮点数,结果就是浮点数。所以,如果相除的结果有余数,也不会像前面一样了,而是要返回一个浮点数,这就跟在数学上学习的结果一样了。

>>> 10.0 / 3
3.3333333333333335

这个是不是就有点搞怪了,按照数学知识,应该是 3.33333...,后面是 3 的循环了。那么你的计算机就停不下来了,满屏都是 3。为了避免这个,Python 武断终结了循环,但是,可悲的是没有按照“四舍五入”的原则终止。当然,还会有更奇葩的出现:

>>> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004
>>> 0.1 + 0.1 - 0.2
0.0
>>> 0.1 + 0.1 + 0.1 - 0.3
5.551115123125783e-17
>>> 0.1 + 0.1 + 0.1 - 0.2
0.10000000000000003

越来越糊涂了,为什么 computer 姑娘在计算这么简单的问题上,如此糊涂了呢?不是 computer 姑娘糊涂,她依然冰雪聪明。原因在于十进制和二进制的转换上,computer 姑娘用的是二进制进行计算,上面的例子中,我们输入的是十进制,她就要把十进制的数转化为二进制,然后再计算。但是,在转化中,浮点数转化为二进制,就出问题了。

例如十进制的 0.1,转化为二进制是:0.0001100110011001100110011001100110011001100110011...

也就是说,转化为二进制后,不会精确等于十进制的 0.1。同时,计算机存储的位数是有限制的,所以,就出现上述现象了。

这种问题不仅仅是 Python 中有,所有支持浮点数运算的编程语言都会遇到,它不是 Python 的 bug。

明白了问题原因,怎么解决呢?就 Python 的浮点数运算而言,大多数机器上每次计算误差不超过 2**53 分之一。对于大多数任务这已经足够了,但是要在心中记住这不是十进制算法,每个浮点数计算可能会带来一个新的舍入错误。

一般情况下,只要简单地将最终显示的结果用“四舍五入”到所期望的十进制位数,就会得到期望的最终结果。

对于需要非常精确的情况,可以使用 decimal 模块,它实现的十进制运算适合会计方面的应用和高精度要求的应用。另外 fractions 模块支持另外一种形式的运算,它实现的运算基于有理数(因此像 1/3 这样的数字可以精确地表示)。最高要求则可是使用由 SciPy 提供的 Numerical Python 包和其它用于数学和统计学的包。列出这些东西,仅仅是让看官能明白,解决问题的方式很多,后面会用这些中的某些方式解决上述问题。

关于无限循环小数问题,我有一个链接推荐给诸位,它不是想象的那么简单呀。请阅读:维基百科的词条:0.999...,会不会有深入体会呢?

补充一个资料,供有兴趣的朋友阅读:浮点数算法:争议和限制

Python 总会要提供多种解决问题的方案的,这是她的风格。

引用模块解决除法--启用轮子

Python 之所以受人欢迎,一个很重重要的原因,就是轮子多。这是比喻啦。就好比你要跑的快,怎么办?光天天练习跑步是不行滴,要用轮子。找辆自行车,就快了很多。还嫌不够快,再换电瓶车,再换汽车,再换高铁...反正你可以选择的很多。但是,这些让你跑的快的东西,多数不是你自己造的,是别人造好了,你来用。甚至两条腿也是感谢父母恩赐。正是因为轮子多,可以选择的多,就可以以各种不同速度享受了。

轮子是人类伟大的发明。

Python 就是这样,有各种轮子,我们只需要用。只不过那些轮子在 Python 里面的名字不叫自行车、汽车,叫做“模块”,有人承接别的语言的名称,叫做“类库”、“类”。不管叫什么名字吧。就是别人造好的东西我们拿过来使用。

怎么用?可以通过两种形式用:

  • 形式 1:import module-name。import 后面跟空格,然后是模块名称,例如:import os
  • 形式 2:from module1 import module11。module1 是一个大模块,里面还有子模块 module11,只想用 module11,就这么写了。

不啰嗦了,实验一个:

>>> from __future__ import division
>>> 5 / 2
2.5
>>> 9 / 2
4.5
>>> 9.0 / 2
4.5
>>> 9 / 2.0
4.5

注意了,引用了一个模块之后,再做除法,就不管什么情况,都是得到浮点数的结果了。

这就是轮子的力量。

余数

前面计算 5/2 的时候,商是 2,余数是 1

余数怎么得到?在 Python 中(其实大多数语言也都是),用%符号来取得两个数相除的余数.

实验下面的操作:

>>> 5 % 2
1
>>> 6%4
2
>>> 5.0%2
1.0

符号:%,就是要得到两个数(可以是整数,也可以是浮点数)相除的余数。

前面说 Python 有很多人见人爱的轮子(模块),她还有丰富的内建函数,也会帮我们做不少事情。例如函数 divmod()

>>> divmod(5,2)  # 表示 5 除以 2,返回了商和余数
(2, 1)
>>> divmod(9,2)
(4, 1)
>>> divmod(5.0,2)
(2.0, 1.0)

四舍五入

最后一个了,一定要坚持,今天的确有点啰嗦了。要实现四舍五入,很简单,就是内建函数:round()

动手试试:

>>> round(1.234567,2)
1.23
>>> round(1.234567,3)
1.235
>>> round(10.0/3,4)
3.3333

简单吧。越简单的时候,越要小心,当你遇到下面的情况,就有点怀疑了:

>>> round(1.2345,3)
1.234               # 应该是:1.235
>>> round(2.235,2)
2.23                # 应该是:2.24

哈哈,我发现了 Python 的一个 bug,太激动了。

别那么激动,如果真的是 bug,这么明显,是轮不到我的。为什么?具体解释看这里,下面摘录官方文档中的一段话:

Note: The behavior of round() for floats can be surprising: for example, round(2.675, 2) gives 2.67 instead of the expected 2.68. This is not a bug: it’s a result of the fact that most decimal fractions can’t be represented exactly as a float. See Floating Point Arithmetic: Issues and Limitations for more information.

原来真的轮不到我。归根到底还是浮点数中的十进制转化为二进制惹的祸。

似乎除法的问题到此要结束了,其实远远没有,不过,做为初学者,至此即可。还留下了很多话题,比如如何处理循环小数问题,我肯定不会让有探索精神的朋友失望的,在我的 github 中有这样一个轮子,如果要深入研究,可以来这里尝试


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