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ahalei · 更新于 2018-11-28 11:00:43

算法 7:Dijkstra 最短路算法

上周我们介绍了神奇的只有五行的 Floyd 最短路算法,它可以方便的求得任意两点的最短路径,这称为“多源最短路”。本周来来介绍指定一个点(源点)到其余各个顶点的最短路径,也叫做“单源最短路径”。例如求下图中的 1 号顶点到 2、3、4、5、6 号顶点的最短路径。

picture7.1

与 Floyd-Warshall 算法一样这里仍然使用二维数组 e 来存储顶点之间边的关系,初始值如下。

picture7.2

我们还需要用一个一维数组 dis 来存储 1 号顶点到其余各个顶点的初始路程,如下。

picture7.3

我们将此时 dis 数组中的值称为最短路的“估计值”。

既然是求 1 号顶点到其余各个顶点的最短路程,那就先找一个离 1 号顶点最近的顶点。通过数组 dis 可知当前离 1 号顶点最近是 2 号顶点。当选择了 2 号顶点后,dis[2]的值就已经从“估计值”变为了“确定值”,即 1 号顶点到 2 号顶点的最短路程就是当前 dis[2]值。为什么呢?你想啊,目前离 1 号顶点最近的是 2 号顶点,并且这个图所有的边都是正数,那么肯定不可能通过第三个顶点中转,使得 1 号顶点到 2 号顶点的路程进一步缩短了。因为 1 号顶点到其它顶点的路程肯定没有 1 号到 2 号顶点短,对吧 O(∩_∩)O~

既然选了 2 号顶点,接下来再来看 2 号顶点有哪些出边呢。有 2->3 和 2->4 这两条边。先讨论通过 2->3 这条边能否让 1 号顶点到 3 号顶点的路程变短。也就是说现在来比较 dis[3]和 dis[2]+e[2][3]的大小。其中 dis[3]表示 1 号顶点到 3 号顶点的路程。dis[2]+e[2][3]中 dis[2]表示 1 号顶点到 2 号顶点的路程,e[2][3]表示 2->3 这条边。所以 dis[2]+e[2][3]就表示从 1 号顶点先到 2 号顶点,再通过 2->3 这条边,到达 3 号顶点的路程。

我们发现 dis[3]=12,dis[2]+e[2][3]=1+9=10,dis[3]>dis[2]+e[2][3],因此 dis[3]要更新为 10。这个过程有个专业术语叫做“松弛”。即 1 号顶点到 3 号顶点的路程即 dis[3],通过 2->3 这条边松弛成功。这便是 Dijkstra 算法的主要思想:通过“边”来松弛 1 号顶点到其余各个顶点的路程。

同理通过 2->4(e[2][4]),可以将 dis[4]的值从 ∞ 松弛为 4(dis[4]初始为 ∞,dis[2]+e[2][4]=1+3=4,dis[4]>dis[2]+e[2][4],因此 dis[4]要更新为 4)。

刚才我们对 2 号顶点所有的出边进行了松弛。松弛完毕之后 dis 数组为:

picture7.4

接下来,继续在剩下的 3、4、5 和 6 号顶点中,选出离 1 号顶点最近的顶点。通过上面更新过 dis 数组,当前离 1 号顶点最近是 4 号顶点。此时,dis[4]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。下面继续对 4 号顶点的所有出边(4->3,4->5 和 4->6)用刚才的方法进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为:

picture7.5

继续在剩下的 3、5 和 6 号顶点中,选出离 1 号顶点最近的顶点,这次选择 3 号顶点。此时,dis[3]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对 3 号顶点的所有出边(3->5)进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为:

picture7.6

继续在剩下的 5 和 6 号顶点中,选出离 1 号顶点最近的顶点,这次选择 5 号顶点。此时,dis[5]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对5号顶点的所有出边(5->4)进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为:

picture7.7

最后对 6 号顶点所有点出边进行松弛。因为这个例子中 6 号顶点没有出边,因此不用处理。到此,dis 数组中所有的值都已经从“估计值”变为了“确定值”。

最终 dis 数组如下,这便是 1 号顶点到其余各个顶点的最短路径。

picture7.8

OK,现在来总结一下刚才的算法。算法的基本思想是:每次找到离源点(上面例子的源点就是 1 号顶点)最近的一个顶点,然后以该顶点为中心进行扩展,最终得到源点到其余所有点的最短路径。基本步骤如下:

  • 将所有的顶点分为两部分:已知最短路程的顶点集合 P 和未知最短路径的顶点集合 Q。最开始,已知最短路径的顶点集合 P 中只有源点一个顶点。我们这里用一个 book[ i ]数组来记录哪些点在集合 P 中。例如对于某个顶点 i,如果 book[ i ]为 1 则表示这个顶点在集合 P 中,如果 book[ i ]为 0 则表示这个顶点在集合 Q 中。
  • 设置源点 s 到自己的最短路径为 0 即 dis=0。若存在源点有能直接到达的顶点 i,则把 dis[ i ]设为 e[s][ i ]。同时把所有其它(源点不能直接到达的)顶点的最短路径为设为 ∞。
  • 在集合 Q 的所有顶点中选择一个离源点 s 最近的顶点 u(即 dis[u]最小)加入到集合 P。并考察所有以点 u 为起点的边,对每一条边进行松弛操作。例如存在一条从 u 到 v 的边,那么可以通过将边 u->v 添加到尾部来拓展一条从 s 到 v 的路径,这条路径的长度是 dis[u]+e[u][v]。如果这个值比目前已知的 dis[v]的值要小,我们可以用新值来替代当前 dis[v]中的值。
  • 重复第 3 步,如果集合 Q 为空,算法结束。最终 dis 数组中的值就是源点到所有顶点的最短路径。

完整的 Dijkstra 算法代码如下:


    #include <stdio.h>
    int main()
    {
        int e[10][10],dis[10],book[10],i,j,n,m,t1,t2,t3,u,v,min;
        int inf=99999999; //用inf(infinity的缩写)存储一个我们认为的正无穷值
        //读入n和m,n表示顶点个数,m表示边的条数
        scanf("%d %d",&n,&m);

        //初始化
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=1;j<=n;j++)
                if(i==j) e[i][j]=0;
                  else e[i][j]=inf;

        //读入边
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3);
            e[t1][t2]=t3;
        }
        //初始化dis数组,这里是1号顶点到其余各个顶点的初始路程
        for(i=1;i<=n;i++)
            dis[i]=e[1][i];
        //book数组初始化
        for(i=1;i<=n;i++)
            book[i]=0;
        book[1]=1;

        //Dijkstra算法核心语句
        for(i=1;i<=n-1;i++)
        {
            //找到离1号顶点最近的顶点
            min=inf;
            for(j=1;j<=n;j++)
            {
                if(book[j]==0 && dis[j]<min)
                {
                    min=dis[j];
                    u=j;
                }
            }
            book[u]=1;
            for(v=1;v<=n;v++)
            {
                if(e[u][v]<inf)
                {
                    if(dis[v]>dis[u]+e[u][v])
                        dis[v]=dis[u]+e[u][v];
                }
            }
        }

        //输出最终的结果
        for(i=1;i<=n;i++)
            printf("%d ",dis[i]);

        getchar();
        getchar();
        return 0;
    }

可以输入以下数据进行验证。第一行两个整数 n m。n 表示顶点个数(顶点编号为 1~n),m 表示边的条数。接下来 m 行表示,每行有 3 个数 x y z。表示顶点 x 到顶点 y 边的权值为 z。


    6 9
    1 2 1
    1 3 12
    2 3 9
    2 4 3
    3 5 5
    4 3 4
    4 5 13
    4 6 15
    5 6 4

运行结果是


    0 1 8 4 13 17

通过上面的代码我们可以看出,这个算法的时间复杂度是 O(N2)。其中每次找到离 1 号顶点最近的顶点的时间复杂度是 O(N),这里我们可以用“堆”(以后再说)来优化,使得这一部分的时间复杂度降低到 O(logN)。另外对于边数 M 少于 N2 的稀疏图来说(我们把 M 远小于 N2 的图称为稀疏图,而 M 相对较大的图称为稠密图),我们可以用邻接表(这是个神马东西?不要着急,下周再仔细讲解)来代替邻接矩阵,使得整个时间复杂度优化到 O( (M+N)logN )。请注意!在最坏的情况下 M 就是 N2,这样的话 MlogN 要比 N2 还要大。但是大多数情况下并不会有那么多边,因此(M+N)logN 要比 N2 小很多。

【啊哈!算法】系列 7:Dijkstra 最短路算法
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